冷色鉛筆

　　不是什麼高深的東西，只是個人的心得而已，如果我寫錯了，歡迎任何人指正。

　　學物理首先要能夠描述現象，例如一維空間中，物體所在位置和時間的關係，我們就能畫出 v-t 圖來描述一般，關於量子力學的學習一開始也是先學會如何描述。而描述量子力學我們需要選擇一組好的基底。

　　基底是什麼？基底是用來敍述狀態的東西，不同的系統有不同的基底，例如你要怎麼敍述一個人？高矮、胖瘦、聲音的高低……這些就是敍述一個人的基底。那麼假如有一組基底可以形容一個人的所有可能狀態，這組基底就會被稱之為完備基底。如果這組完備基底的每一個基底之間都相互沒有關係（例如皮膚顏色和性別無關），我們就會稱它為正交完備基底。

　　看起來似乎很困難，但實際上在數學上我們早就遇過了，例如描述物體在空間中的位置，我們使用卡氏座標的 x,y,z 就是描述位置的正交完備基底，另外也可以用球座標或圓柱座的基底，正巧也是三個正交完備基底。

　　在量子力學中所使用的基底，是一種人為設計，就像我一開始所說的描述一個人的基底一樣，並不像空間中的位置那麼理所當然。但是之中的許多關係卻可以借用空間的想法。

　　舉個例子，一個物體的位置用卡氏座標描述是 (1,2,3) ，如果由座標原點指向物體位置的話，物體位置可以用向量 Vector_p=1|x>+2|y>+3|z> 來描述，其中 |x>、|y>、|z> 是 x、y、z 方向的單位向量，也就是卡氏座標上的基底。如果你想要知道這個物體的位置在 z 軸上的何處（意思是說多高），只要用 |z> 去跟 Vector_p 內積即可。

　　同樣的在量子力學中，物理系統的狀態可以由基底來描述。例如描述一粒子簡諧運動的波函數可以由基態、第一激發態、第二激發態………來描述，這些東西寫作 |0>、|1>、|2> ……，也就是描述波函數的正交完備基底。波函數可由這組正交完備基底線性組合來描述，如同前段所描述位置時，每個基底 |x>、|y>、|z> 前面都有個系數，線性組合就是 |0>、|1>、|2> ……的每一個前面都乘上一個系數再相加。我們將系統的波函數寫作 |s> ，則 |s>=∑C_n•|n> ，如果你想要知道 |s> 的基底 |4> 前面的系數 C_4 是多少，只要拿 |4> 和 |s> 作內積即可，這跟前段的原理相同。不過前段的內積得出來的是位置的高度，那這邊內積所求得的系數是有什麼意義嗎？又或者只是在玩數學？實際上這裡的系數的確有物理上的意義，該系數的絕對值平方等於系統處這個基底上的機率。

　　以下不是一個好的解釋「機率」方式，但礙於我能力不足，請容許我這樣比喻。假設我有兩個色料：黃色、藍色，於是我就能調出所有的綠色了。我按照我的心情，隨意的調出一百種綠色，而這一百種綠色，可以用黃色和藍色線性組合來描述，意即，黃色和藍色就是這一百種綠色的正交完備基底。現在有一個人辨色能力有缺陷，他能夠辨認出黃色和藍色，但他的字典裡沒有綠色，也沒有放棄，在不知道的情況下，他會猜黃色或藍色其中一個，但對於同一個綠色他每次猜也不一定都會是同一個顏色。例如我的綠色 １ 號是 1:1.732 的黃色和藍色調配而成，那麼他看這個綠色 1 號，一百次中會有25次猜黃色，有75次猜藍色。透過觀察，我們可以發現他面對黃色所佔比重越高的綠色，他猜黃色的機率越高，反之，面對藍色所佔比重越高的綠色，他猜藍色的機率越高。無論如何，他不會猜綠色！而這就是我對系數與機率關係所做的類比了。

　　似乎我也沒說出什麼新鮮事～～，雖然我想再談談對算符的心得，但似乎仍是力有未逮。